Questão resolvida - Dado um certo intervalo do domínio de uma função, esta pode ou não apresentar pontos de máximo e mínimo absolutos. Dada a função f(x)=10x^7+3x^2 determine se ela tem extremos absol

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Dado um certo intervalo do domínio de uma função, esta pode ou não apresentar 
pontos de máximo e mínimo absolutos. Dada a função determine f x = 10x + 3x( ) 7 2
se ela tem extremos absolutos e, se tiver, onde ocorrem?
 
Resolução:
 
Para determinar os pontos críticos, fazemos a primeira derivada da função e igualamos a 
zero;
 
f x = 10x + 3x f' x = 70x + 6x( ) 7 2 → ( ) 6
 
f' x = 0 70x + 6x = 0 x 70x + 6 = 0 x = 0 ou 70x + 6 = 0( ) → 6 → 5 → 5
 70x = - 65
 x =5
-6
70
 x = -5
3
35
 x = -
3
35
 x = - ≅ - 0, 61
3
35
Vamos verificar se e são coordenadas de pontos de máximo ou mínimo; vamos 0 -0, 61
verificar qual o sinal de antes de (em ), entre (emf'(x) x = -0, 61 x = -1 x = -0, 61 e x = 0
), e em (em ); x = -1 / 2 x > 0 x = 2
 
Para x = -1 f' -1 = 70 -1 + 6 -1 f' -1 = 70 - 6 f' -1 = 64 > 0→ ( ) ( )6 ( ) → ( ) → ( )
 
Para x = -1 / 2 f' -1 / 2 = 70 - + 6 - f' -1 / 2 = 70 ⋅ -→ ( )
1
2
6
1
2
→ ( )
1
64
6
2
f' -1 / 2 = - 3 f' -1 / 2 = f' -1 / 2 = - < 0→ ( )
35
32
→ ( )
35 - 96
32
→ ( )
61
32
 
 
Para x = 2 f' 2 = 70 2 + 6 2 f' 2 = 4480 - 12 f' 2 = 4468 > 0→ ( ) ( )6 ( ) → ( ) → ( )
Onde a derivada é negativa, a função decresce e onde a derivada é positiva a função 
cresce, com isso, podemos montar o esquema a seguir;
 
 
5
5
 
Dessa forma, podemos concluir que é a coordenada de um ponto de máximo e x = -0, 61
 é a coordenada de um ponto de mínimo.x = 0
Agora, vamos verificar se estes pontos são de máximos e mínimos absolutos ou relativos, 
fazendo tender a ;f x( ) ±∞
 
, como a função tende 10x + 3x = 10 +∞ + 3 +∞ = 10 ⋅ +∞ = +∞lim
x +∞→
7 2 ( )7 ( )2 ( )
para mais infinito, o máximo encontrado não é absoluto e sim relativo.
 
, como a função tende 10x + 3x = 10 -∞ + 3 -∞ = 10 ⋅ -∞ = -∞lim
x -∞→
7 2 ( )7 ( )2 ( )
para menos infinito, o mínimo encontrado não é absoluto e sim relativo.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0-0, 61 4
+
-1 2
-+
 
Adicionalmente, podemos verificar isso no gráfico da função abaixo;