Geo Analítica

Geometria analítica
Geometria analítica no espaço
O essencial

Referencial ortonormado do espaço
Designa-se por referencial ortonormado
do espaço qualquer terno ordenado de
retas numéricas (Ox, Oy, Oz),
perpendiculares duas a duas, que se
intersetam nas respetivas origens e com
unidades de comprimento coincidentes
com a unidade de comprimento pré-
-fixada.
O — origem
Ox — eixo das abcissas
Oy — eixo das ordenadas
Oz — eixo das cotas

Planos coordenados
Os três planos determinados por cada par de eixos coordenados
designam-se por planos coordenados e representam-se por xOy,
xOz e yOz, consoante os eixos coordenados que contêm.

Distância entre dois pontos
Dados dois pontos A(a1, a2, a3) e B(b1, b2 , b3), a distância entre A e B
representa-se por d(A, B) e:
       2
3
3
2
2
2
2
1
1
, a
b
a
b
a
b
B
A
d 






Coordenadas do ponto médio de um segmento
de reta
Dados dois pontos A(a1, a2, a3) e B(b1, b2 , b3), as coordenadas do ponto
médio do segmento [AB] são:





 


2
,
2
,
2
3
3
2
2
1
1 b
a
b
a
b
a

Condições e conjuntos de pontos
Dado um referencial ortonormado, designa-se por equação cartesiana de
um conjunto C uma equação cujas soluções são as coordenadas dos
pontos de C.
Dado um referencial ortonormado, designa-se por inequação cartesiana
de um conjunto C uma inequação cujas soluções são as coordenadas dos
pontos de C.

Plano mediador
Dados dois pontos A(a1, a2, a3) e B(b1, b2 , b3), uma equação do plano
mediador do segmento de reta [AB] é:
e pode ser escrita na forma:
           2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1 b
z
b
y
b
x
a
z
a
y
a
x 










IR
d
c
b
a
d
cz
by
ax 


 ,
,
,
,

Equação reduzida da superfície esférica
Dados um ponto A(a1, a2, a3) e um número real r > 0, a equação cartesiana
reduzida da superfície esférica de centro em A e raio r é:
      2
2
3
2
2
2
1 r
a
z
a
y
a
x 






Inequação cartesiana da esfera
Dados um ponto A(a1, a2, a3) e um número real r > 0, a inequação
cartesiana da esfera de centro em A e raio r é:
      2
2
3
2
2
2
1 r
a
z
a
y
a
x 






Equações de planos paralelos aos planos
coordenados
Um plano paralelo ao plano yOz que contém o ponto
de coordenadas (a, 0, 0) é dado por .
b
y 
a
x 
Um plano paralelo ao plano xOz que contém o ponto
de coordenadas (0, b, 0) é dado por .
c
z 
Um plano paralelo ao plano xOy que contém o ponto
de coordenadas (0, 0, c) é dado por .

Equações de retas paralelas aos eixos
coordenados
Uma reta paralela ao eixo Ox que contém o ponto de
coordenadas (0, b, c) é dada por .
Uma reta paralela ao eixo Oy que contém o ponto de
coordenadas (a, 0, c) é dada por .
c
z
a
x 


c
z
b
y 


Uma reta paralela ao eixo Oz que contém o ponto de
coordenadas (a, b, 0) é dada por .
b
y
a
x 



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