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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.3 - Ex. 55

Calcule o ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas.

Passo 1

Pra facilitar nossas vidas, vamos pensar num cubo unitário, posicionado no primeiro ocutante, de modo que seu canto traseiro esquerdo esteja na origem e suas bordas estejam ao longo dos eixos coordenados x , y ,   z .

Assim:

Esse vetor rosinha que eu desenhei dentro dele é uma diagonal. Ela começa na origem e termina no ponto ( 1,1 , 1 ) , portanto, é o vetor

d = ( 1,1 , 1 )

Esse outro vetor vermelhinho que eu desenhei é o vetor do eixo x . Ele começa na origem e termina no ponto ( 1,0 , 0 ) , portanto, é o vetor

v = ( 1,0 , 0 )

Podemos dizer que o ângulo formado entre esses dois vetores é θ .

Passo 2

Dito isso, o ângulo entre dois vetores pode ser calculado por

c o s θ = d → ∙ v → d v  

Vamos então calcular esse produto escalar do numerador e o modulo dos vetores do denominador:

d → ∙ v → = 1,1 , 1 ∙ 1,0 , 0 = 1.1 + 1.0 + 1.0 = 1

d = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

v = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1 = 1

Passo 3

Substituindo tudo na formula:

c o s θ = 1,1 , 1 ∙ 1,0 , 0 d v = 1 3 = 3 3

Assim,

θ = arccos ⁡ 3 3 ≈ 55 °

Resposta

θ ≈ 55 °

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